傅里叶变换
傅里叶级数
我们在高等数学中就学过傅里叶级数，这里简要回顾一下傅里叶级数的内容：
对于满足狄利克雷条件的周期函数在区间\(\left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right]\)上有：
\[
f_T(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos n \omega_0 t + b_n \sin n \omega_0 t \right)
\]
其中
\[
\begin{aligned}
\omega_0 &= \dfrac{2 \pi}{T}, \\
a_n &= \dfrac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f_T(t) \cos n \omega_0 t \, \mathrm{d}t \quad (n = 0,1,\cdots), \\
b_n &= \dfrac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f_T(t) \sin n \omega_0 t \, \mathrm{d}t \quad (n = 1,2,\cdots).
\end{aligned}
\]
在此基础上可以得到傅里叶级数的复数形式：
\[
f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{j n \omega_0 t}
\]
其中
\[
c_n = \dfrac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f_T(t) e^{-j n \omega_0 t} \, \mathrm{d}t \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)
\]
非周期函数的傅里叶变换
可以将非周期函数视为周期函数的极限情况，即周期趋向于无穷大。对于非周期函数\(f(t)\)，其傅里叶变换定义为：
\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j \omega t} \, \mathrm{d}t
\]
其逆变换为：
\[
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j \omega t} \, \mathrm{d}\omega
\]
在\(f(t)\)的间断点处，式子左端的值应取\(\dfrac{f(t+0) + f(t-0)}{2}\).
对于这样的一个变换对应，\(F(\omega)\)被称为\(f(t)\)的像函数，记作\(\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)\)；而\(f(t)\)被称为\(F(\omega)\)的像原函数，记作\(\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)] = f(t)\)。
由于非周期函数包含了所有的频率分量，相应的像函数\(F(\omega)\)描述了这些频率分量的分布密度。\(F(\omega)\)称为频谱密度函数，\(|F(\omega)|\)称为振幅谱，\(\arg F(\omega)\)称为相位谱。
\(\delta\)函数
称具有如下性质的函数\(δ(t)\) 为狄拉克δ函数：
- \(t \not= 0\)时，\(δ(t) = 0\)；
- \(\int _{-\infty }^{+\infty }δ(t)\mathrm {d}t=1\)
\(δ\) 函数具有以下性质（约定 \(f(t)\) 为任一无穷次可微函数）：
1.
\[
\int _{-\infty }^{+\infty }δ\left(t-t_{0}\right)f(t) \mathrm{d}t=f\left(t_{0}\right)
\]
- 设\(u(t)\)为单位阶跃函数，即
\[
u(t)=\left\{\begin{array}{l}0,t<0\\ 1,t>0\end{array}\right.
\]
则有\(u(t)=\int _{-\infty }^{t}δ(\tau)\mathrm {d}\tau,δ(t)=\frac {\mathrm {d}u(t)}{\mathrm {d}t}\)
- 若a为非零实常数，则
\(δ(at)=\dfrac {1}{|a|}δ(t)\)
傅里叶变换中的\(δ\)函数
对于\(\delta\)函数，很容易可以得到其傅里叶变换为：
\[
\mathscr{F}[\delta(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-j \omega t} \, \mathrm{d}t = 1
\]
在引入了\(\delta\)函数后，对于更多的函数，我们可以使用\(\delta\)函数来表示其傅里叶变换。下面给出如下常见的傅里叶变换对：
| 原函数\(f(t)\) | 像函数\(F(\omega)\) |
|----------------------|----------------------------|
| \(\delta(t)\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\pi \delta(\omega)\) |
| \(e^{j \omega_0 t}\) | \(2\pi \delta(\omega - \omega_0)\) |
| \(\cos \omega_0 t\) | \(\pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]\) |
| \(\sin \omega_0 t\) | \(j \pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]\) |
特别的在这里考察阶跃函数\(u(t)\)的傅里叶变换：
\[
\mathscr{F}[u(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} u(t) e^{-j \omega t} \, \mathrm{d}t
\]
由于\(u(t)\)在\(t<0\)时为0，因此上式可化简为：
\[
\mathscr{F}[u(t)] = \int_{0}^{+\infty} e^{-j \omega t} \, \mathrm{d}t
\]
如果在这里直接计算，可能会得到一个这样的答案：
\[
\mathscr{F}[u(t)] = \frac{1}{j \omega}
\]
但是这个结果在\(\omega = 0\)时并不成立，因此需要进行修正。这里提供一种可参考的处理方式：
\[
u(t) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{sgn}(t)
\]
\[
\mathscr{F}[u(t)] = \mathscr{F}\left[\dfrac{1}{2}\right] + \mathscr{F}\left[\dfrac{1}{2}\text{sgn}(t)\right] = \pi \delta(\omega) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{j \omega} = \pi \delta(\omega) + \dfrac{1}{j \omega}
\]
这个函数会惩罚每一个不好好复习的人
傅里叶变换的性质
记\(\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)\)，\(\mathscr{F}[g(t)] = G(\omega)\)，则有以下性质：
- 线性性质：
\[
\mathscr{F}[a f(t) + b g(t)] = a F(\omega) + b G(\omega)
\]
\[
\mathscr{F}^{-1}[a F(\omega) + b G(\omega)] = a f(t) + b g(t)
\]
- 位移性质：
\[
\mathscr{F}[f(t - t_0)] = F(\omega) e^{-j \omega t_0}
\]
\[
\mathscr{F}^{-1}[F(\omega - \omega_0)] = f(t) e^{j \omega_0 t}
\]
- 相似性质：
\[
\mathscr{F}[f(a t)] = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right)
\]
- 微分性质：
\[
\mathscr{F}\left[\frac{\mathrm{d}^n f(t)}{\mathrm{d} t^n}\right] = (j \omega)^n F(\omega)
\]
\[
\mathscr{F}^{-1}\left[\frac{\mathrm{d}^n F(\omega)}{\mathrm{d} \omega^n}\right] = (-j t)^n f(t)
\]
- 积分性质：
当\(\lim_{t\to + \infty}\int^t_{-\infty}f(t)\mathrm{d}t = 0\)
\[
\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^{t} f(\tau) \, \mathrm{d}\tau\right] = \frac{1}{j \omega} F(\omega)
\]
- 帕塞瓦尔等式：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} [f(t)]^2 \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^2 \, \mathrm{d}\omega
\]
卷积
设\(f(t)\)与\(g(t)\)是两个时域信号，则它们的卷积定义为：
\[
f(t) * g(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, \mathrm{d}\tau
\]
卷积具有以下性质：
1. 交换律：\(f(t) * g(t) = g(t) * f(t)\)
2. 结合律：\(f(t) * [g(t) * h(t)] = [f(t) * g(t)] * h(t)\)
3. 分配律：\(f(t) * [g(t) + h(t)] = f(t) * g(t) + f(t) * h(t)\)
4. 与微分运算的关系：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[f(t) * g(t)] = \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} * g(t) = f(t) * \frac{\mathrm{d}g(t)}{\mathrm{d}t}
$$
- 傅里叶变换性质：
$$
\mathscr{F}[f(t) * g(t)] = F(\omega) \cdot G(\omega)
$$
$$
\mathscr{F}^{-1}[F(\omega) \cdot G(\omega)] = f(t) * g(t)
$$
习题
关于傅里叶变换的内容考试应该相对比较简单，主要就是考察傅里叶变换对的转化与简单的应用，核心是傅里叶变换的基本性质。
- 求\(f(t)=2\sin ^{2}t+\cos t\)的Fourier变换
由
\[
f(t)=1-\cos 2t+\cos t
\]
知
\[
\begin{aligned}
\mathscr {F}[f(t)]&=\mathscr {F}[1]-\mathscr {F}[\cos 2t]+\mathscr {F}[\cos t]\\
&=\pi [2δ(ω)+δ(ω+1)+δ(ω-1)-δ(ω+2)-δ(ω-2)]
\end{aligned}
\]
- 求函数\(f(t) = t^2u(t)\)的傅里叶变换.
利用微分性质可得：
\[
\mathscr{F}[t^2 u(t)] = -\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\omega^2} \mathscr{F}[u(t)]
\]
由于
\[
\mathscr{F}[u(t)] = \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j \omega}
\]
因此
\[
\mathscr{F}[t^2 u(t)] = -\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\omega^2} \left( \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j \omega} \right) = -\pi \delta''(\omega) - \frac{2}{j \omega^3}
\]
- 试证明：
\[
\int_0^{+\infty} \frac{\cos\omega t}{\beta^2 + \omega^2} \, \mathrm{d}\omega = \frac{\pi}{2\beta} e^{-\beta |t|} \quad (\beta > 0)
\]
证明：
记\(f(t) = e^{-\beta |t|}\)，则其傅里叶变换为：
\[
\begin{aligned}
\mathscr{F}[f(t)] &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\beta |t|} e^{-j \omega t} \, \mathrm{d}t\\
&= \int_{-\infty}^{0} e^{\beta t} e^{-j \omega t} \, \mathrm{d}t + \int_{0}^{+\infty} e^{-\beta t} e^{-j \omega t} \, \mathrm{d}t\\
&= \frac{1}{\beta + j \omega} + \frac{1}{\beta - j \omega}\\
&= \frac{2 \beta}{\beta^2 + \omega^2}
\end{aligned}
\]
相应的就有逆变换
\[
e^{-\beta |t|} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2 \beta}{\beta^2 + \omega^2} e^{j \omega t} \, \mathrm{d}\omega
\]
将\(e^{j \omega t}\)展开成\(\cos \omega t + j \sin \omega t\)，利用奇函数与偶函数的性质可以得到：
\[
e^{-\beta |t|} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{2 \beta}{\beta^2 + \omega^2} \cos \omega t \, \mathrm{d}\omega
\]
移项即得所需结论
- 求积分
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2 + 4)^2} \mathrm{d}x
\]
可以利用帕塞维尔等式来处理类似平方项的积分：
\[
\mathscr{F}\left[\frac{1}{x^2 + 4}\right] = \frac{1}{4}e^{-2 |t|}
\]
则
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2 + 4)^2} \mathrm{d}x = 2\pi\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{16}e^{-4|t|}\mathrm{d}t = \frac{\pi}{16}
\]