复数与复变函数

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1.1 复数

介绍复数

定义：
复数是形如 \(z = x + iy\) 的数，其中 \(x, y \in \mathbb{R}\)，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。

\(x = \operatorname{Re}(z)\) 称为实部
\(y = \operatorname{Im}(z)\) 称为虚部

基本运算：

加法：\((x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)\)
乘法：\((x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)\)
共轭复数：\(\overline{z} = x - iy\)
模：\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)，满足 \(|z|^2 = z\overline{z}\)

模与共轭复数的运算性质：
1. \(||z_1|-|z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)（三角不等式）
2. \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) (除法同理可分) 3. \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\) （减法同理可分） 4. \(\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\) （除法同理可分）

利用共轭复数我们可以完成下面的表达：

\[ x = \frac{z+\overline z}{2}, \quad y = \frac{z-\overline z}{2i}, \quad |z|^2 = x^2+y^2 = z\overline z \]

借此可以完成复参数表达方程类型的题目，例如：

习题1.6 将直线方程 \(ax+by+c= 0\) 写成复数形式（记 \(z=x+iy\) ）。（答案是 \((a-ib)z+(a+ib)\overline z +2c\) ）

1.2 复数的三角表示

介绍复数的三角表示和指数表示以及相关计算

非零复数 \(z = x + iy\) 可表示为

\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \]

其中：

\(r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} > 0\)（模）
\(\theta = \operatorname{Arg} z\)（辐角），满足 \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)

主辐角：辐角具有多值性质，且相邻间隔 \(2\pi\) ，我们选取其中位于 \((-\pi,\pi]\) 的作为主辐角，写作\(\arg z \in (-\pi, \pi]\) , \(\operatorname{Arg} z = \arg z+2k\pi,k=0,\pm 1,\pm 2,...\)

复数还有指数形式：借助欧拉公式：

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

复数可表示为：\(z=re^{i\theta}\)

棣莫弗（De Moivre）公式：

\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta), \quad n \in \mathbb{Z} \]

利用三角表示法进行复数运算：

乘法：模相乘，辐角相加
\(|z_1 z_2| = |z_1||z_2|\), \(\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2\)
除法：模相除，辐角相减
\(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}\), \(\operatorname{Arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \operatorname{Arg} z_1 - \operatorname{Arg} z_2\)
乘方：:\(z^n = [r(cos\theta+i\: sin\theta)]^n = r^n(cos\,n\theta)+i\: sin\,n\theta\)

开方（多值的）：类似乘方公式，但是辐角部分有些许不同，有多值问题: 对于 \(z=w^n\) 有 \(w = z^\frac{1}{n}\) ，则 \(w = r^{\frac{1}{n}}{cos[\frac{1}{n}(\arg z+2k\pi)]+i\, sin[\frac{1}{n}(\arg z+2k\pi)]}\) ,其中 \(k=0,1,2,...,n-1\) 关于 \(k\) 的取值，原因是当 \(z\) 的辐角不同时，开方后需要除以 \(n\) ，导致了：

\[ -\pi<\frac{1}{n}(\arg z+2k\pi)\leq \pi,k=0,1,2,3,...,n-1 \]

所以有 \(n\) 个主辐角。

题目：利用复数的三角表示计算 \(^4\sqrt{-2+2i}\)

设 \(z = -2 + 2i\)，则

\[ r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

点 \((-2, 2)\) 位于第二象限，

\[ \theta = \pi - \arctan\left( \frac{2}{2} \right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]

因此，三角表示为：

\[ z = 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) \]

设 \(w = \rho (\cos\phi + i \sin\phi)\)，则

\[ w^4 = \rho^4 \left( \cos 4\phi + i \sin 4\phi \right) = 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) \]

模：\(\rho^4 = 2\sqrt{2} = 2^{3/2} \Rightarrow \rho = (2^{3/2})^{1/4} = 2^{3/8}\)
辐角：\(4\phi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow \phi = \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2},\quad k = 0, 1, 2, 3\) 令 \(k = 0, 1, 2, 3\)，得：

\[ \begin{aligned} w_0 &= 2^{3/8} \left( \cos\frac{3\pi}{16} + i \sin\frac{3\pi}{16} \right) \\ w_1 &= 2^{3/8} \left( \cos\frac{11\pi}{16} + i \sin\frac{11\pi}{16} \right) \\ w_2 &= 2^{3/8} \left( \cos\frac{19\pi}{16} + i \sin\frac{19\pi}{16} \right) \\ w_3 &= 2^{3/8} \left( \cos\frac{27\pi}{16} + i \sin\frac{27\pi}{16} \right) \end{aligned} \]

1.3 平面点集的一般概念

主要是一些概念类的

开集与闭集：
将复数 \(z = x + iy\) 与点 \((x, y)\) 一一对应，构成复平面（Argand 平面）。

一些基本概念（设一平面点击 \(G\)）：

邻域：\(|z-z_0|<\delta\)
去心邻域： \(0<|z-z_0|<\delta\)
内点：点 \(z_0\) 的某个邻域中的点属于 \(G\) ，则 \(z_0\) 是 \(G\) 的内点。
开集：\(G\) 中的点都是 \(G\) 的内点，则 \(G\) 是开集
余集：平面上不属于 \(G\) 的点的集合,记为 \(\complement G\)
闭集：开集的余集
边界点：点 \(z_0\) 的所有邻域中既有 \(G\) 中的点，也有 \(\complement G\) 中的点。
边界：边界点的合集
孤立点：点 \(z_0\) 的某个邻域都不含 \(G\) 中的点。
有界集：存在一个以 0 为圆心的圆盘包含 \(G\) 则 \(G\) 为有界集，否则为无界集

区域：连通（ \(G\) 中任意两个点都能找到一条完全属于 \(G\) 的折线相连）的开集。对于区域 \(D\) 和它的边界一起构成闭区域或闭域，记作： \(\overline D\) .闭区域不是区域

例：
- \(|z| < 1\) 是开集、单连通区域
- \(0 < |z| < 1\) 是开集、多连通区域（有"洞"）
- \(|z| \leq 1\) 是闭集

平面曲线：根据高数知识我们知道：平面上的曲线可以表示为： \(x = x(t),y=y(t)\) ，我们现在可以用参数来表示复值函数： \(z(t) = x(t)+iy(t)\) ，还可以表示为：\(z=z_1+(z_2-z_1)t\)

平滑曲线：在区间 \(a\leq t\leq b\) 上，\(x\prime (t),y\prime (t)\) 都是连续的，且 \([x\prime(t)]^2+[y\prime(t)]^2\not =0\)
重点：设曲线C（\(a\leq t\leq b\)）,\(z(a)\) 和 \(z(b)\) 分别称为 \(C\) 的起点与终点，对于满足 \(a<t_1<b,a\leq t_2\leq b\) 的 \(t_1\) 与 \(t_2\) 有：\(t_1\not =t_2\) ，有 \(z(t_1)=z(t_2)\) ,则 \(z(t_1)\) 是曲线C的重点。
简单曲线（若尔当曲线）：没有重点的连续曲线。
简单闭曲线：简单曲线首尾相连，\(z(a)=z(b)\) 而不是形成了一个区域就算了。

1.4 无穷大与复平面

依旧概念

无穷大：特殊的“复数”，记为 \(\infty\) ,由：\(\infty = \frac{1}{0}\) 定义而出。

运算规则：

\(z + \infty = \infty\)（\(z \neq \infty\)）
\(z \cdot \infty = \infty\)（\(z \neq 0\)）
\(\dfrac{z}{\infty} = 0\)，\(\dfrac{z}{0} = \infty\)（\(z \neq 0\)）
未定式：\(\infty - \infty\)，\(\dfrac{\infty}{\infty}\)，\(0 \cdot \infty\) 等无定义

而出现了这一特殊的复数，则平面上就应该有其对应的点：无穷远点。

扩充复平面：复平面加上无穷远点 无穷远点去心邻域：复平面上满足 \(|z|>M\) 的点，表示为\(M<|z|<+\infty\)

复球面：
通过球极投影建立扩充复平面与单位球面的一一对应：

球南极 \((0,0,-1)\) 对应 \(z=0\)
球北极 \((0,0,1)\) 对应 \(z=\infty\)
赤道平面对应 \(|z|=1\)

1.5 复变函数

介绍大家喜欢的复变函数啦，题目主要是：
连续性讨论与证明

定义：设 \(E \subset \mathbb{C}\)，映射 \(f: E \to \mathbb{C}\) 称为复变函数，记 \(w = f(z)\)。（其中 \(w\) 称为 \(z\) 的像， \(z\) 称为 \(w\) 的原像。

实虚部：

\[ f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \]

其中 \(u = \operatorname{Re} f\)，\(v = \operatorname{Im} f\) 是实值二元函数。

单值函数与多值函数：单值是指对于任意 \(z\) 仅有一个点 \(w\) 与其对应。不是单值的函数称为多值函数。

极限：
\(\lim_{z \to z_0} f(z) = A\) 当且仅当 \(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists \delta > 0\) 使得

\[ 0 < |z - z_0| < \delta \implies |f(z) - A| < \varepsilon \]

设 \(A=u_0+iv_0，z_0=x_0+iy_0\) 则 \(\lim_{z \to z_0} f(z) = A\) 的充要条件是：

\[ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0 \]

连续性：
\(f(z)\) 在 \(z_0\) 点连续 \(\iff \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\) 连续性扩展到区域：\(f(z)\) 在 \(D\) 内每一点连续，则称 \(f(z)\) 在 \(D\) 内连续。

重要定理：
\(f(z) = u + iv\) 在 \(z_0\) 连续 \(\iff\) \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 连续

例：
\(f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)\)，则 \(u = x^2 - y^2\)，\(v = 2xy\)

题目：试证明 \(\lim_{z\rightarrow 0}\frac{Re(z)}{z}\) 不存在

设 \(z = x + iy\)，其中 \(x = \operatorname{Re}(z)\)，\(y = \operatorname{Im}(z)\)。则

\[ \frac{\operatorname{Re}(z)}{z} = \frac{x}{x + iy} \]

考虑 \(z \to 0\) 时沿不同路径趋近，若极限存在，则必须与路径无关。

沿实轴趋近（\(y = 0, x \to 0\)）
此时 \(z = x\)，故

\[ \frac{\operatorname{Re}(z)}{z} = \frac{x}{x} = 1 \quad (x \ne 0) \]

因此

\[ \lim_{\substack{z \to 0 \\ \text{沿实轴}}} \frac{\operatorname{Re}(z)}{z} = 1 \]

沿虚轴趋近（\(x = 0, y \to 0\)）
此时 \(z = iy\)，\(\operatorname{Re}(z) = 0\)，故

\[ \frac{\operatorname{Re}(z)}{z} = \frac{0}{iy} = 0 \quad (y \ne 0) \]

因此

\[ \lim_{\substack{z \to 0 \\ \text{沿虚轴}}} \frac{\operatorname{Re}(z)}{z} = 0 \]

故极限 \(\displaystyle \lim_{z \to 0} \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\) 不存在。