解析函数

2.1 解析函数的概念

介绍解析函数之前必须介绍复变函数的导数，两者密不可分,本节主要考：
可导的判断
导数表达式的求解

复变函数的导数定义：
\(f(z)\) 在 \(z_0\) 可导，若极限

\[ f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} \]

存在。

若 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处可导（或者可微），则 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处连续（类似一元实值函数）

解析函数： - 点解析：在点的领域内处处可导，则在该点解析 - 区域解析：在区域内任意一点可导，则在该区域解析

关于解析函数的四则运算以及复合函数导数计算，其与一元实值函数形式相同，可能需要单独提出的就是反函数的求导法则：

\[ \varphi \prime(w) = \frac{1}{f\prime (z)}|_{z=\varphi(w)} = \frac{1}{f\prime(\varphi(w))} \]

那不解析的点叫什么呢？叫做奇点（由此可见，奇点并不都是孤立奇点，孤立奇点还要满足去心邻域内解析的条件）

题目：利用导数定义求函数 \(f(z) = z \operatorname{Re}(z)\) 的导数：

考虑导数定义：

\[ f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} \]

则：

\[ \begin{aligned} f'(z) &= \lim_{\Delta z\to 0}\frac{(z+\Delta z)\operatorname{Re}(z+\Delta z)-z\operatorname{Re}(z)}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta z\to 0}\frac{z\operatorname{Re}(\Delta z)+\Delta z\operatorname{Re}(z+\Delta z)}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta z\to 0}\left[\frac{z\operatorname{Re}(\Delta z)}{\Delta z}+\operatorname{Re}(z+\Delta z)\right] \\ &= \operatorname{Re}(z)+z\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x+i\Delta y} \\ &= \operatorname{Re}(z)+z\lim_{\Delta z \to 0}\frac{1}{1+i\frac{\Delta y}{\Delta x}} \end{aligned} \]

当 \(z\not =0\) 时，因路径的选择不同，\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 的值不一样，所以在 \(z\not=0\) 时函数不可导当 \(z=0\) 时，\(f'(z)=0+0\times \lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x+i\Delta y}=0\),所以 \(f'(z)\) 在仅在 \(z=0\) 处可导，且导数为0

2.2 如何判断函数解析

主要是利用 \(C-R\) 方程进行判断，本节主要考：
可导与解析的判断
根据解析函数的定义可知，若想满足解析条件首先要判断的是可导的条件 判断可导：
对 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\) ，其可导的充要条件是 \(u(x,y),v(x,y)\) 在该点可微且满足柯西-黎曼方程（\(C-R\) 方程）:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

导数计算公式（满足上述条件的函数才可以使用哦）：

\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} \]

挺重要的，因为虽然我们表达时用的 \(u,v\) ，但是在实际的这个题目里是 \(x,y\) 分别组成的两个式子放在实部和虚部，忘记的话在计算题可能会愣一会儿

判断可微：判断点解析就是判断其邻域可导，即其邻域内点都满足上述方程，不妨直接扩展到区域：对 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\) ，其在区域 \(D\) 内解析的充要条件是 \(u(x,y),v(x,y)\) 在区域内处处可微且满足柯西-黎曼方程（\(C-R\) 方程）

题目：
验证 \(f(z) = e^z = e^x \cos y + i e^x \sin y\) 解析：
\(u = e^x \cos y\)，\(v = e^x \sin y\)
\(\dfrac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y = \dfrac{\partial v}{\partial y}\)
\(\dfrac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y = -\dfrac{\partial v}{\partial x}\)
满足 C-R 方程，且偏导连续，故 \(e^z\) 处处解析。

2.3 解析函数与调和函数的关系

本节内容主要通过调和函数的一个引入希望进行解析函数的构造大概题型有：
判断调和函数和共轭调和函数
构造解析函数：已知实部求虚部，已知虚部求实部

调和函数（一个函数是调和函数）：
实函数 \(\phi(x,y)\) 在区域 \(D\) 内满足 \(Laplace\) 方程

\[ \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0 \]

且具有二阶连续偏导数，则称 \(\phi\) 为调和函数。

解析函数的实部和虚部都是调和函数 若 \(f(z) = u + iv\) 在 \(D\) 内解析，则 \(u\) 和 \(v\) 均为 \(D\) 内的调和函数。

共轭调和函数（一个函数是另一个函数的共轭调和函数）：
若 \(\varphi,\phi\) 均是区域 \(D\) 内的调和函数且满足 C-R 方程，则 \(\phi\) 称为 \(\varphi\) 的共轭调和函数。

解析函数的虚部是实部的共轭调和函数 若 \(f(z) = u + iv\) 在 \(D\) 内解析，则 \(v\) 是 \(u\) 的共轭调和函数。

说到底，介绍调和函数就是为了再次剖析解析函数的性质，即满足 \(Laplace\) 方程，而根据共轭调和函数的性质（其实还是借助 \(C-R\) 方程，感谢 \(C-R\) 方程！）

给解析函数找另一半的构造方法主要有（这两种方法都别忘了常数部分）： 1. 偏微分法：即通过解析偏导数与偏微分进行一个简单的对齐 2. 曲线积分法：通过 \(C-R\) 方程和上学期的高数知识我们知道

\[ dv = \frac{\partial v}{x}dx+\frac{\partial v}{y}dy=-\frac{\partial u}{y}dx+\frac{\partial u}{x}dy \]

其积分与路径无关，则：给定调和函数 \(u(x,y)\)，其共轭调和函数 \(v\) 可通过线积分求得：

\[ v(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} \left( -\frac{\partial u}{\partial y} \, dx + \frac{\partial u}{\partial x} \, dy \right) + C \]

题目：
1.求 \(u(x,y) = x^2 - y^2\) 的共轭调和函数：

由 C-R 方程：
\(\dfrac{\partial v}{\partial x} = -\dfrac{\partial u}{\partial y} = 2y\)，\(\dfrac{\partial v}{\partial y} = \dfrac{\partial u}{\partial x} = 2x\)
积分得 \(v = 2xy + C\)，故解析函数为 \(f(z) = x^2 - y^2 + i(2xy) = z^2 + iC\)

2.已知 \(v = 2xy + 3x\)，求解析函数 \(f(z) = u + iv\)

解：
因 \(f(z)\) 解析，\(u, v\) 满足 C-R 方程：

\[ u_x = v_y = 2x, \quad u_y = -v_x = -(2y + 3) \]

步骤 1：由 \(u_x = 2x\) 积分得

\[ u(x, y) = \int 2x \, dx = x^2 + \phi(y) \]

步骤 2：\(y\) 求偏导并与 C-R 对比

\[ u_y = \phi'(y) = -2y - 3 \Rightarrow \phi(y) = -y^2 - 3y + C \]

故

\[ u(x, y) = x^2 - y^2 - 3y + C \]

步骤 3：构造 \(f(z) = u + iv\)

\[ \begin{aligned} f(z) &= (x^2 - y^2 - 3y + C) + i(2xy + 3x) \\ &= (x^2 - y^2 + i2xy) + i3x - 3y + C \\ &= (x + iy)^2 + 3i(x + iy) + C \\ &= z^2 + 3i z + C \end{aligned} \]

（验证：\(3i z = 3i(x + iy) = -3y + i3x\)，正确）

\[ f(z) = z^2 + 3i z + C \quad (C \in \mathbb{R}) \]

2.4 初等解析函数（一定要注意多值）

本节的主要内容呢，是介绍了复变函数中的初等函数，要强调的是不同于实值函数，在复变函数中由于辐角的不确定性可能会导致其为多值，本节要讲多值函数主要是对数函数和幂函数，除此之外再次提醒各位复数的开方也是多值的，本节主要考：
解方程
初等函数的值
初等函数的等式的证明

(1) 指数函数

\[ e^z = e^x (\cos y + i \sin y) \]

提醒一下，书中定义中指定指数函数的底是e了，遇到诡异复数底复数幂的计算当成幂函数计算，考虑多值

性质：
处处解析
\(e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} e^{z_2}\)
周期 \(2\pi i\)：\(e^{z + 2k\pi i} = e^z\) (\(k \in \mathbb{Z}\))
\(|e^z| = e^x\)，\(\arg(e^z) = y + 2k\pi\)

(2) 对数函数

我们来看书上的定义：满足方程 \(e^w=z(z\not =0)\) 的 \(w=f(z)\) 称为对数函数，我们从这个角度来分析对数函数的多值性，根据指数函数的周期性可知，满足该式的复数 \(w\) 一定不唯一，即多值。 多值性：

\[ Ln\,z = \ln |z| + i Arg\, z \]

和辐角选主值一样，我们选择辐角为主辐角的作为我们对数函数的主值，其表示为

\[ \ln z = \ln |z| + i\,\arg z \]

则对数函数可以表达为：

\[ Ln\,z = \ln z+2k\pi i \]

提个醒：在解方程的题目里面千万在取对数的时候不要直接取到主值上喽，比如你在找孤立奇点的时候“不小心”忘记了多值的情况，老师也会”不小心“给你扣分哦~

性质：
在割去负实轴的复平面 \(\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]\) 上解析
\(\dfrac{d}{dz}\operatorname{Log} z = \dfrac{1}{z}\)
\(\operatorname{Log}(z_1 z_2) = \operatorname{Log} z_1 + \operatorname{Log} z_2 + 2k\pi i\)（多值性）

(3) 幂函数

\[ w=z^\alpha = e^{\alpha Ln\, z} \quad (\alpha \in \mathbb{C}) \]

幂函数的多值源自于哪呢?就是开方，导致z的辐角在乘以 \(\alpha\) 后出现多个位于区间 \((-\pi,\pi]\) 的值
性质：
一般为多值函数（当 \(a\) 非整数时）
主分支：\(z^a = e^{a \operatorname{Log} z}\)
在割去负实轴的复平面上解析

(4) 三角函数（直接根据实数用欧拉公式表达拓展而来）

\[ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \]

性质（其实和实数上的三角函数性质差不多）：
处处解析
\(\sin^2 z + \cos^2 z = 1\)
无界性：\(|\sin z|\), \(|\cos z|\) 可任意大
零点：\(\sin z = 0\) 当 \(z = k\pi\)；\(\cos z = 0\) 当 \(z = (k+\frac{1}{2})\pi\)

(5)反三角函数类似对数函数，反三角函数通过 \(cos\,w = z\) 定义，具有多值性。 - 反正弦函数

\[ Arcsin\, z = -i Ln\left( i z + \sqrt{1 - z^2} \right) \]

反余弦函数

\[ Arccos\, z = -i Ln\left( z + \sqrt{z^2 - 1} \right) \]

反正切函数

\[ Arctan\, z = \frac{i}{2} Ln\left( \frac{i + z}{i - z} \right) \]

性质： - 多值性：因含 \(\log\) 与 \(\sqrt{\cdot}\)，均为无穷多值函数

(6)双曲函数 - 双曲正弦与余弦

\[ \sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2} \]

双曲正切与余切

\[ \tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z} = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}, \quad \coth z = \frac{\cosh z}{\sinh z} \]

性质： - 处处解析：\(\sinh z\)、\(\cosh z\) 为整函数 - 奇点： - \(\tanh z\) 在 \(z = i\left(k + \frac{1}{2}\right)\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）处有极点 - \(\coth z\) 在 \(z = k\pi i\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）处有极点 - 恒等式（与实函数形式相同）：\(\cosh^2 z - \sinh^2 z = 1\)，\(\sinh(z_1 \pm z_2) = \sinh z_1 \cosh z_2 \pm \cosh z_1 \sinh z_2\) - 与三角函数关系：\(\sinh z = -i \sin(iz)\)，\(\cosh z = \cos(iz)\)

(7)反双曲函数 - 反双曲正弦

\[ Arsinh\, z = Ln\left( z + \sqrt{z^2 + 1} \right) \]

反双曲余弦

\[ Arcosh\, z = Ln\left( z + \sqrt{z^2 - 1} \right) \]

反双曲正切

\[ Artanh\, z = \frac{1}{2} Ln\left( \frac{1 + z}{1 - z} \right) \]

题目：

1.解方程 \(e^z = 1 + \sqrt{3}\,i\)
解：
将右边化为极坐标形式：

\[ 1 + \sqrt{3}\,i = 2 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 e^{i\pi/3} \]

设 \(z = x + iy\)，则

\[ e^z = e^x e^{iy} = 2 e^{i\pi/3} \]

比较模与辐角：模：\(e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2\) 辐角：\(y = \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}\) 故通解为：

\[ z = \ln 2 + i\left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

\[ \boxed{z = \ln 2 + i\left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right),\quad k \in \mathbb{Z}} \]

2.计算 \((1 + i)^{\,1 - i}\)

解：
利用复幂定义：

\[ z^b = e^{b Ln\, z} \]

\[ (1+i)^{1-i} = e^{(1+i)Ln\, (1+i)} = e^{(1+i)[ln\sqrt{2}+i(-\frac{\pi}{4}+2k\pi)]} \]

\[ =\cdots=e^{\ln\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}-2k\pi}[cos(ln\sqrt2-\frac{\pi}{4})+i\,sin(ln\sqrt2-\frac{\pi}{4})],k=0,\pm 1,\pm 2,\dots \]