资料
[AI学组]CSAI矩阵论与回归分析复习资料2025
文件系统梳理了矩阵论与回归分析的核心内容：
1. 主成分分析（PCA）给出协方差矩阵、相关矩阵、R/S 型分析步骤及 4×3 数据实例。
2. 奇异值分解（SVD）介绍两种计算流程，并配 2 道手写例题。
3. 函数矩阵求导、梯度与 Jacobian 定义常用公式及证明。
4. 伪逆、广义逆、Moore-Penrose 逆的判定、计算与例题。
5. 多元线性回归建模、最小二乘解、帽子矩阵与二次拟合示例。
[AI学组]CSAI矩阵论与回归分析复习资料2025
CSAI 复习 (1)
CSAI 复习摘要
- 数理逻辑：命题判定、真值表、范式、推理证明、谓词符号化。
- 集合论：对称差、幂集、势的证明（双射/伯恩斯坦）、可数性技巧。
- 组合分析：整系数二次方程根的可数性、\(\aleph_0\) 幂集、\(\{0,1\}^*\) 与 \(\{0,1\}^\omega\) 可数性。
- 图论：
– 欧拉图：无奇度顶点 \(\Leftrightarrow\) 欧拉回路。
– 哈密顿图：\(p(G-V)\le|V|\)；度和大条件。
– 平面图：欧拉公式 \(n-m+r=2\)，极大平面 \(\Leftrightarrow\) 每面 3 次。
– 着色：\(\delta\ge4\) 则必有 \(\le4\) 次面；\(n\ge11\) 补图非平面。 - 代数系统：群/环/域定义与证明模板；幂等元即单位元。
- 三维刚体：\(SO(3)\) 表征（欧拉角、四元数、旋转向量）、罗德里格斯公式
\(R=\cos\theta I+(1-\cos\theta)aa^\top+\sin\theta[a]_\times\) 及指数映射 \(\exp(\theta a^\wedge)\)。
CSAI 复习 (1)
CSAI讲座讲义
以下按讲义中出现的顺序，逐条给出最简答案（仅结论或一句话提示）
（这里的解析是 AI 识别并生成的，未经人工审核）。
集合论
-
\(A\cap(B\setminus C)=(C\setminus B)\cap A\)
不成立；反例：\(A=\{1\},B=\{1,2\},C=\{2\}\) 左侧\(\{1\}\)，右侧\(\varnothing\)。 -
\(A\cap(B\cap C)=B\cap(A\cap C)\)
成立；两边均等于\(A\cap B\cap C\)（交换律）。 -
可数/不可数
\(\{0,1\}^*\)可枚举（按长度字典序），\(\{0,1\}^\omega\)与\(\mathbb R\)等势，对角化证不可数。
图论
-
\(K_{m,n}\)哈密顿\(\iff m=n\ge 2\)。
证：二部图回路必偶长，需两边顶点数相等；构造显式圈。 -
\(K_{m,n}\)半哈密顿\(\iff m\ge n-1\ge 0\)且\(m+n\ge2\)。
证：删一顶点后可哈密顿。 -
6边极大平面\(\iff\)三角剖分\(\Rightarrow\)必\(K_4\)（4点6边）。
结论：是。 -
8点极大平面\(\Rightarrow e=3n-6=18\Rightarrow f=e+2-n=12\)。
-
4-色：平面图的色数\(\le4\)（四色定理）。
-
\(r<12,\delta(G)\ge3\Rightarrow\)平均面度\(<4\Rightarrow\)存在\(\le4\)次面。
-
\(n=10,m=37\)
- 哈密顿？不一定；\(K_{5,5}+7\)边可非哈密顿。
- 二分？不一定；\(K_{10}-8\)边含奇圈。
-
平面？否；\(m>3n-6=24\)。
-
所有度偶且连通\(\Rightarrow\)欧拉图；是。
-
\(n\ge11\)平面\(\Rightarrow\overline G\)含\(K_5\)或\(K_{3,3}\)子式\(\Rightarrow\)非平面。
代数系统
-
\(\langle S,*\rangle\)群：封闭、结合、单位\(1\)、逆元显见。
-
交换\(\iff(ab)^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow\)显然；\(\Leftarrow\)展开得\(ab=ba\)。 -
域\(\mathbb F\)：验证加法、乘法群及分配律（题目片段，略）。
CSAI讲座讲义
计算机科学与人工智能的数学基础上复习大纲
涵盖 命题逻辑、谓词逻辑、集合论、图论、代数系统、线性代数与三维几何、组合计数、回归与降维 八大模块。
- 逻辑：命题公式、真值表、范式、推理定律；谓词、量词、前束范式。
- 集合：运算律、幂集、包含排斥、映射与势、可数/连续统。
- 图论：度与握手定理、连通性、欧拉图、哈密顿图、平面图、树、匹配、割集。
- 代数系统：群、子群、陪集、同构；变换群与置换群。
- 线性代数：SVD、Moore-Penrose 逆、PCA 四步：
- 均值 \(\bar x\) 与协方差 \(S\)；
- 解 \(|λI-S|=0\) 得特征值；
- 单位特征向量 \(α_k\)；
- 主成分 \(f_i=α_{1i}(x_1-\bar x_1)+\dots+α_{pi}(x_p-\bar x_p)\)。
- 三维几何：旋转向量 \(\phi=θn\)、Rodrigues 公式
\(R=\cosθI+(1-\cosθ)nn^T+\sinθ[n]_×\)；
单位四元数 \(q=(\cos\fracθ2,\sin\fracθ2 n)\) 表示旋转。 - 组合计数：排列 \(P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}\)、组合 \(C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)、多重集重复选取 \(C_{k+r-1}^{r}\)。
- 回归：最小二乘 \(\hatβ=(X^TX)^{-1}X^Ty\)，帽子矩阵 \(H=X(X^TX)^{-1}X^T\)。