真题
2025春CSAI回忆版试题（这是人智真题）
题解由 AI 提供。 题解由 AI 提供。 题解由 AI 提供。 如果你觉得题解说的不对，那很有可能是你对了
一、填空（每题 3 分，第 6 题 5 分）
- 可满足式的否定不可能是 重言式。
- 主析取范式：
\(m_3\vee m_6\vee m_7 = (\neg p\wedge q\wedge r)\vee(p\wedge q\wedge\neg r)\vee(p\wedge q\wedge r)\) - \(P(\{0,\varnothing\})\oplus P(\varnothing)=\bigl\{\{0\},\{\varnothing\},\{0,\varnothing\}\bigr\}\)
- 邻接矩阵 \(A^3\) 的 \((2,1)\) 元素即为 \(v_2\to v_1\) 长 3 的路径数。
- 极小非平面图删一边后 不一定是 极大平面图。
- 真值判断
(1) 无向图均可四着色 → 假（非平面图）
(2) 子群单位元必为 \(e\) → 真
(3) 帽子矩阵对称 → 假（对称而非反对称）
二、举例（每题 3 分）
- 图 2 中基数 4 的边割集：任取把图分成两部分的 4 条跨集边即可。
- 欧拉图但非哈密顿图：\(K_{2,4}\) 的“双星”加平行边使其度全偶。
- 弱连通但非单向连通：\(1\to 2,\;3\to 2\)（底层无向连通，但无 \(1\to 3\) 路径）。
- 完备但非完美匹配：\(K_{3,5}\) 中把 3 部全匹配掉，剩 2 个未盖点。
三、计算与证明
- \(((p\to q)\wedge p)\to q\) 是 重言式。
- 谓词符号化：
\(\forall x\forall y\,\bigl(\text{Angle}(x)\wedge\text{Angle}(y)\wedge x=y\;\to\;\neg(\text{Vertical}(x)\wedge\text{Vertical}(y))\bigr)\) - 前束范式：
\(\forall x\exists z\exists u\,\bigl(F(z,y)\to(H(x)\to\neg G(u))\bigr)\) - 会三门语言人数 = 2。
- \(n\) 必为 偶数（3-正则图握手定理）。
- 双射：
\(f(x)=\dfrac{5x-2}{1-|2x-1|},\;x\in[0,1]\) 把 \([0,1]\) 映到 \((-2,3)\)。 - 取解释 \(D=\mathbb N,\;F(x):x=0,\;G(x):x=1\) 即可使两式为假。
- 四元数乘积：
\(q_1*q_2=(-4,\,2,\,0,\,1)\) - 阶数 \(n=8\)；非同构树共 2 棵。
- 对偶图：把原图每个面变顶点，相邻面连边即可。
- 梯度：
\(\nabla f(x)=(A+A^T)x\) - SVD：
\(A=\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\) 已给出；
MP 逆：
\(A^+=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}1&2&0\end{bmatrix}\)
四、应用题（真值表法）
设甲、乙、丙、丁命题变量，列 16 行真值表，保留满足 4 条约束的行，唯一解：
派甲、丙 参赛。
五、分析题
- 把协方差阵的 \(1/n\) 换成 \(1/(n-1)\) 只改变特征值大小，不改变 特征向量方向 与 相对贡献率，故主成分表达式不变，贡献率数值不变。
- Cantor 集 5 等分后每份与原集同胚，势仍为
\(\mathfrak c=2\)