第二章 完全信息静态博弈
基本分析方法
上策均衡
上策：不管其他博弈方选择什么策略，一个博弈方的某个策略给他带来的得益始终不低于其他策略，则此策略是该博弈方的上策。
上策均衡：如果一个博弈某个策略组合中的所有策略都是各博弈方各自的上策，这个策略组合就是所有博弈方都愿意选择的，称为该博弈的上策均衡。
上策均衡反映了所有博弈方的绝对偏好，所以分析博弈时应该先判断各博弈方是否有上策，博弈是否存在上策均衡。但是，因为博弈的根本特征是策略的相互依存性，各个博弈方的最优策略通常随其他博弈方的策略而变化，因此上策或上策均衡经常不存在。
严格下策反复消去法
严格下策：不管其他博弈方选择什么策略，一个博弈方的某个策略给他带来的得益总比另一种策略小，则此策略为相对于后者的严格下策。
严格下策反复消去法：通过在各博弈方的策略空间中反复寻找并消去严格下策，直到找不出任何严格下策为止的基础博弈分析方法。如果某个博弈方最后只剩下一个策略，该策略就是该博弈方的唯一理性选择；如果最后只剩下一个策略组合，即为博弈的解。
划线法
划线法是一种基于策略之间相对优劣关系，在得益矩阵中寻找博弈稳定结果（即纳什均衡）的简便分析方法。
- 在得益矩阵中，针对对方的某一特定策略，找出己方的最大得益，并在该数字下方划一短线；
- 对所有博弈方的所有策略重复上述操作。
如果在得益矩阵中，某个策略组合对应的得益数组里每一个数字下方都划有短线，这说明该组合中每个博弈方的策略都是对其他方策略的最佳对策。这种策略组合具有稳定性，通常就是该博弈的结果。
反应函数法
反应函数：指一个博弈方针对另一博弈方每种可能的决策，其最佳反应决策所构成的函数。其是划线法在无限策略博弈中的推广。
反应函数法：在得益是策略多元连续函数的博弈中，先求出每个博弈方的反应函数，解出各博弈方反应函数的交点，该交点即为纳什均衡。
纳什均衡
纳什均衡定义
一般定义：一个策略组合中，任一博弈方的策略都是对其他博弈方策略组合的最佳对策，则这个策略组合就是该博弈的一个纳什均衡。纳什均衡中没有任何博弈方可以通过单独改变自己的策略来增加得益。
标准定义：在博弈\(G=\{S_1,\cdot\cdot\cdot,S_n;u_1,\cdot\cdot\cdot,u_n\}\)中，如果各个博弈方的各一个策略组成的策略组合\((s_1^*,\cdot\cdot\cdot,s_n^*)\)中，任一博弈方的策略\(s_i^*\)都是对其余博弈方策略组合\((s_1^*,\cdot\cdot\cdot,s_{i-1}^*,s_{i+1}^*,\cdot\cdot\cdot,s_n^*)\)的最佳对策，即
对任意\(s_{ij} \in S_i\)都成立，则\((s_1^*,\cdot\cdot\cdot,s_n^*)\)是\(G\)的一个纳什均衡。
纯策略纳什均衡：构成纳什均衡的策略组合中各博弈方采用的都是确定性的纯策略。
混合策略纳什均衡：当博弈方以一定的概率分布随机选择各个纯策略时，如果没有任何博弈方能通过单独改变自己随机选择的概率分布来增加期望得益，这种混合策略的组合就构成了混合策略纳什均衡。
纳什均衡与严格下策反复消去法：如果严格下策反复消去法排除了除某一个特定策略组合之外的所有策略组合，那么这唯一剩下来的策略组合一定是该博弈唯一的纳什均衡。反之，如果某个策略组合是纳什均衡，那么严格下策反复消去法一定不会将它消去。
一致预测性质
一致预测性：如果所有博弈方预测特定博弈结果会出现，那么所有博弈方都不会选择与预测不一致的策略，即预测是自我实现的。
只有纳什均衡才具有一致预测性，这是纳什均衡在非合作博弈分析中具有最重要地位的根本原因之一。
纳什定理
在一个有\(n\)个博弈方的博弈\(G=\{S_1,\cdot\cdot\cdot,S_n;u_1,\cdot\cdot\cdot,u_n\}\)中，如果博弈方数量\(n\)是有限的，且每个博弈方的策略空间\(S_i\)都是有限集，则该博弈至少存在一个纳什均衡（可能包含混合策略）。
混合策略分析方法
以下方法适用于求解混合策略纳什均衡。
代数法
一个博弈方选择特定概率分布的混合策略，其目的是不让其他博弈方有可乘之机。换言之，如果一个博弈方选择不同纯策略的期望收益不同的话，那么他会一直选期望收益最高的纯策略，这样就不是混合策略。
因此，混合策略纳什均衡中博弈方随机选择纯策略的概率分布应满足使其他博弈方采用不同纯策略的期望得益相等。通过解期望得益相等的方程组就能计算出各个博弈方随机选择各纯策略的最佳概率。
混合策略反应函数法
将反应函数扩展到混合策略范畴，此时博弈方的决策内容为选择概率分布，反应函数表现为一方的概率分布对另一方概率分布的函数。
分别作出各博弈方的混合策略反应函数图像，它们在坐标图上的交点就是该博弈的混合策略纳什均衡。
纳什均衡的选择和分析方法扩展
帕累托上策均衡和风险上策均衡
帕累托上策均衡：当一个博弈存在多个纳什均衡时，如果某个纳什均衡给所有博弈方带来的利益都大于其他纳什均衡（即在帕累托效率上占优），各博弈方预计对方也会如此选择，这种均衡即为帕累托上策均衡。
风险上策均衡：当所有博弈方预计其他博弈方采用各个纳什均衡策略的概率相同时都偏好其中某一纳什均衡，则该纳什均衡就是风险上策均衡。
其它纳什均衡
聚点均衡：在存在多个纳什均衡且无明显优劣之分时，博弈方利用共同文化背景中的习惯、常识，或具有特殊意义的事物（即聚点）作为决策依据，从而同时选中的纳什均衡。
相关均衡：为了解决多重纳什均衡的选择僵局，博弈方通过引入一种共同遵守的机制（如一个发出相关信号的随机装置）来协调选择策略所构成的纳什均衡。它能有效提高博弈效率并避免最差结果。
防共谋均衡：在给定偏离者有再次偏离自由的前提下，没有任何两个或更多个博弈方的联合串通能够改变博弈结果而获利的纳什均衡。防共谋均衡是一种针对多人博弈的均衡概念，排除了小团体串通带来的不稳定性。
例题
1. 上策均衡、严格下策反复消去法和纳什均衡相互之间的关系是什么？
上策均衡是各博弈方绝对最优策略的组合，而纳什均衡则是各博弈方相对最优策略的组合。因此上策均衡是比纳什均衡要求更高，更严格的均衡概念。上策均衡一定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策均衡。对于同一个博弈来说，上策均衡的集合是纳什均衡集合的子集，但不一定是真子集。
严格下策反复消去法与上策均衡分别对应两种有一定相对性的决策分析思路：严格下策反复消去法对应排除法，即排除绝对最差策略的分析方法；上策均衡对应选择法，即选择绝对最优策略的均衡概念。严格下策反复消去法和上策均衡之间并不矛盾，甚至可以相互补充，因为严格下策反复消去法不会消去任何上策均衡，但却可以简化博弈。
严格下策反复消去法与纳什均衡也是相容和补充的，因为严格下策反复消去法把严格下策消去时不会消去纳什均衡，但却能简化博弈，使纳什均衡分析更加容易。
2. 为什么说纳什均衡是博弈分析中最重要的概念？
- 一致预测性：一致预测性是保证纳什均衡具有内在稳定性，能作出可靠的预测的根本基础。而且只有纳什均衡才有这种性质，其他均衡概念要么不具有一致预测性，要么本身也是纳什均衡 ，是纳什均衡的组成部分 ，因此一致预测性是纳什均衡的本质属性。
- 普遍存在性：纳什定理及其他相关定理保证在允许采用混合策略的情况下 ，在我们关心的所有类型博弈中都存在纳什均衡。这意味着纳什均衡分析方法具有普遍适用性。相比之下，其他各种均衡概念和分析方法，如上策均衡、严格下策反复消去法 、严格上策均衡等 ，则可能在许多博弈中不存在，从而限制了它们的作用和价值。
纳什均衡是唯一同时具有上述两大优秀性质的博弈分析概念，而且它也是其他各种博弈分析方法和均衡概念的基础，因此纳什均衡是博弈分析中最重要、作用最大的概念。