往届资料收集
【AI学组&钱学组】高数下期中专题复习
《工科数学分析（二）》期中专题复习摘要
- 多元函数微分学
连续与可微判定、方向导数、泰勒展开
\[
f(x)=f(x_0)+\langle\nabla f(x_0),\Delta x\rangle+\tfrac12\Delta x^{\mathsf T}H_f(x_0+\theta\Delta x)\Delta x
\]
极值：无约束用 Hesse 矩阵正定/负定；有约束用 Lagrange 乘子
\[
\nabla f(x_0)=\lambda\nabla\varphi(x_0),\quad \varphi(x_0)=0
\]
- 几何应用
曲线切向量 \(\dot r(t)\)，曲面法向量 \(r_u\times r_v\)；弧长、曲率公式
\[
\kappa(t)=\dfrac{|\dot r\times\ddot r|}{|\dot r|^3}
\]
- 重积分
二重：X/Y 型、极坐标、对称奇偶、换序、变量替换
\[
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|\,\mathrm du\mathrm dv
\]
三重：柱/球坐标、椭球变换、轮换对称
\[
\iiint_\Omega\mathrm dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\!\!\int_0^R \rho^2\sin\varphi\,\mathrm d\rho\mathrm d\varphi\mathrm d\theta
\]
- 典型技巧
极坐标求极限、Jacobi 链式法则、隐函数组求导、Lagrange 证不等式、对称性化简积分。
【AI学组&钱学组】高数下期中专题复习
工科数学分析-期中
摘要
文件为《工科数学分析-2期中复习》讲义，涵盖多元微积分核心内容：
- 极限与连续性
- \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) 与 \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) 连续定义：任意路径极限相同，分量函数皆连续。
-
反例警示：直线路径不足以判定极限存在。
-
可微性
- 全微分：\(\Delta f=\nabla f\cdot\delta x+o(\|\delta x\|)\)。
- 充分条件：偏导数连续；必要条件：函数连续、偏导存在。
-
方向导数与梯度：\(\partial_{\mathbf{e}}f=\nabla f\cdot\mathbf{e}\)。
-
高阶导数与 Taylor 展开
- Hessian 矩阵 \(H_f\)；二阶 Taylor：
\[
f(\mathbf{x})=f(0)+\nabla f(0)\cdot\mathbf{x}+\tfrac12\mathbf{x}^TH_f(0)\mathbf{x}+o(\|\mathbf{x}\|^2).
\]
- 极值与 Lagrange 乘子
- 必要条件：\(\nabla f=0\)；Hessian 正定⇒极小，负定⇒极大，不定⇒鞍点。
-
约束极值：\(\mathcal{L}=f+\sum\lambda_i g_i\)，\(\nabla\mathcal{L}=0\)。
-
链式法则与变量替换
- Jacobi 矩阵 \(Df=J_{m\times n}\)；链式：\(D(f\circ g)=Df|_g\cdot Dg\)。
-
全微分形式不变性：\(\mathrm{d}f=\partial_u f\,\mathrm{d}u+\partial_v f\,\mathrm{d}v\)。
-
重积分
- 换元公式：\(\mathrm{d}x\mathrm{d}y=|\det J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\)；柱坐标 \(\rho\,\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z\)，球坐标 \(r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\)。
-
对称性：利用 \(f(x,y)\pm f(\pm x,\pm y)=0\) 或轮换对称化简。
-
空间几何
- 曲线切向量 \(\dot{\mathbf{r}}\)，弧微分 \(\mathrm{d}s=\|\dot{\mathbf{r}}\|\mathrm{d}t\)。
-
曲面法向量：\(\mathbf{n}=\partial_u\mathbf{r}\times\partial_v\mathbf{r}\) 或 \(\nabla F\)；交线切向量 \(\mathbf{t}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2\)。
-
技巧与例题
- 构造一元函数 \(\varphi(t)=f\bigl(A(1-t)+Bt\bigr)\) 证明 \(|f(A)-f(B)|\le M|AB|\)。
- 分离变量解 Laplace 算子极坐标形式：\(\nabla^2 f=\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\rho^2}+\frac1\rho\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\rho}\)。
祝考试顺利。
工科数学分析-期中
高数下知识点&&习题归纳
高数下知识点与习题归纳摘要
- 多元函数微分学：
- 极限、连续、偏导、全微分、方向导数与梯度
- Taylor 展开、极值（无约束 & Lagrange 乘数法）
-
向量值函数、隐函数、几何应用（切线、法平面、弧长、切平面）
-
多元函数积分学：
- 二重、三重积分（直角、极、柱、球坐标）
- 一型线/面积分（质量）、二型线/面积分（功、流量）
-
Green、Stokes、Gauss 公式；散度、旋度、有势/无源/调和场
-
无穷级数：
- 常数项级数审敛（比较、比值、根值、Leibniz）
- 幂级数：收敛半径 \(R=\lim|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\)，和函数与展开
- Fourier 级数：系数
\[
a_n=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x,\quad
b_n=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x
\]
- 习题精选：
每章配典型题与完整解答，强化计算技巧与定理应用。